Ya has estudiado en clase los problemas de optimización, ahora vamos a ayudarte a comprender los conceptos con ayuda de las siguientes construcciones hechas con geogebra.
PROBLEMA 1
De todos los rectángulos de perímetro 20. ¿Calcula las dimensiones de aquel de área máxima?
Contesta a las siguientes preguntas:
1.- Se muestran varias casilla que puedes ir señalando para ayudarte a resolver el problema.
2.-¿Qué función es la asociada a los puntos: E'(base, área)?.Observando la traza de los puntos E' :¿podrías deducir la función?.¿Qué punto corresponde al de área máxima es decir mayor valor de y en E'?
3.- Haz el cálculo según lo que el profesor te ha explicado el clase y después comprueba la respuesta marcando la casilla correspondiente.
4.-¿Qué figura corresponde?¿Porqué?
5- ¿Podrías haber resuelto el problema sin el uso de las derivadas?.Describe como.
Ahora vamos a estudiar la construcción que soluciona el problema y reflexionar sobre la misma:
1. Piensa si geogebra te ha ayudado a solucionar el problema.
2. ¿Es necesario usar el método analítico para solucionar el problema?.
3. Intenta interiorizar el procedimiento para resolver problemas de optimización.
Si generalizamos el problema:
De todos los rectángulos de perímetro p. ¿Calcula las dimensiones de aquel de área máxima?
Problema de optimización
De todos los rectángulos de un cierto perímetro . Calcular dimensiones y el área de aquel que tenga área máxima.
Observa que la figura está construida de forma que varíe los distintos valores del perímetro y los lados de la figura correspondiente
Contesta a las siguientes preguntas:
1.- Se muestran varias casilla que puedes ir señalando para ayudarte a resolver el problema.
2.-¿Qué función es la asociada a los puntos: E'(base, área)?.Observando la traza de los puntos E' :¿podrías deducir la función?.¿Qué punto corresponde al de área máxima es decir mayor valor de y en E'?
3.- Haz el cálculo según lo que el profesor te ha explicado el clase y después comprueba la respuesta marcando la casilla correspondiente.
4.-¿Qué figura corresponde?¿Porqué?
5- ¿Podrías haber resuelto el problema sin el uso de las derivadas?.Describe como.
Ahora intenta tu resolver los siguientes problemas con ayuda del profesor y siguiendo los pasos que se te indican:
En un triángulo isósceles de base 2 cm. (el lado desigual) y altura 3 cm, se inscribe un rectángulo de forma que uno de sus lados esté sobre la base del triángulo y dos de sus vértices sobre los lados iguales. Calcular las dimensiones del rectángulo de área máxima.
Este problema lo resolverán los alumnos con ayuda del profesor.
Pasos a seguir:
1.- Dibujar el triángulo isósceles y el rectángulo inscrito.
2.- Señalar los puntos que nos indicas la base y área del rectángulo (señala la traza).
3.- Registrar en la hoja de cálculo los puntos.
4.- Crear una lista con los valores de y de los puntos anteriores.
5.- Hallar el máximo de la lista.
6.-Identificar la función que se obtiene según la traza.
7.-Dibujar la función y comparar con la traza de los números.
8.- Dibuja la derivada.
9.-Hallar el punto que anula derivada.
10.-Halla el máximo de la función.
11.- Compara con el máximo de la lista de números.
Comprueba tu solución con la construcción ya resuelta:
Generaliza el problema para cualquier valor del lado desigual y lados iguales, comprueba tu construcción con la siguiente:
Calcular las dimensiones de un rectángulo de área máxima inscrito en un triángulo isósceles
Al lado desigual lo ponemos como deslizador, al igual que los lados iguales:
Mostramos la traza de los puntos que indican base y área de los rectángulos que se forman.
Los datos se trasladan a una hoja de cálculo.
Se halla el máximo de la lista correspondiente a las áreas que determinan los puntos de de la traza.
Después realizamos el procedimiento analítico:
Función f(x) a máximizar.
f`(x) y el pto tal que f'(x)=0 le denominador Máximo
Se obtiene el valor máximo por dos métodos distintos para que compares los resultado
1.-Entre todos los triángulos isósceles de perímetro 30, ¿cuál es el de área máxima? 2.- Una recta que pasa por el punto (1,2) determina sobre los semiejes positivos, los segmentos OP y OQ. Determinar el triángulo OPQ de área mínima. 3.- En un rectángulo de 4 m de perímetro, se sustituyen los lados por semicircunferencias exteriores. Halla las dimensiones de los lados para que el área de la figura resultante sea mínima. 4.- Determina en la hipérbola x2 – y2=1 un punto cuya distancia a P(2,0) sea mínima. 5.- Entre todos los rectángulos inscritos en una circunferencia de radio 12 cm. Calcular las dimensiones del que tenga mayor área. 6.- Se tiene un alambre de 2 m. de longitud y se desea dividirlo en dos partes, para formar un cuadrado y con la segunda parte un círculo. Calcular la longitud de cada parte para que la suma de las áreas de la figura sea a) máxima, b) Mínima.
PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN GEOMÉTRICOS
FICHA DEL ALUMNO**FICHA DEL ALUMNO
Ya has estudiado en clase los problemas de optimización, ahora vamos a ayudarte a comprender los conceptos con ayuda de las siguientes construcciones hechas con geogebra.
PROBLEMA 1
De todos los rectángulos de perímetro 20. ¿Calcula las dimensiones de aquel de área máxima?
Contesta a las siguientes preguntas:
1.- Se muestran varias casilla que puedes ir señalando para ayudarte a resolver el problema.
2.-¿Qué función es la asociada a los puntos: E'(base, área)?.Observando la traza de los puntos E' :¿podrías deducir la función?.¿Qué punto corresponde al de área máxima es decir mayor valor de y en E'?
3.- Haz el cálculo según lo que el profesor te ha explicado el clase y después comprueba la respuesta marcando la casilla correspondiente.
4.-¿Qué figura corresponde?¿Porqué?
5- ¿Podrías haber resuelto el problema sin el uso de las derivadas?.Describe como.
María Sardina, Creación realizada con GeoGebra
Ahora vamos a estudiar la construcción que soluciona el problema y reflexionar sobre la misma:
1. Piensa si geogebra te ha ayudado a solucionar el problema.
2. ¿Es necesario usar el método analítico para solucionar el problema?.
3. Intenta interiorizar el procedimiento para resolver problemas de optimización.
Si generalizamos el problema:
De todos los rectángulos de perímetro p. ¿Calcula las dimensiones de aquel de área máxima?
Problema de optimización
De todos los rectángulos de un cierto perímetro . Calcular dimensiones y el área de aquel que tenga área máxima.
Observa que la figura está construida de forma que varíe los distintos valores del perímetro y los lados de la figura correspondiente
Contesta a las siguientes preguntas:
1.- Se muestran varias casilla que puedes ir señalando para ayudarte a resolver el problema.
2.-¿Qué función es la asociada a los puntos: E'(base, área)?.Observando la traza de los puntos E' :¿podrías deducir la función?.¿Qué punto corresponde al de área máxima es decir mayor valor de y en E'?
3.- Haz el cálculo según lo que el profesor te ha explicado el clase y después comprueba la respuesta marcando la casilla correspondiente.
4.-¿Qué figura corresponde?¿Porqué?
5- ¿Podrías haber resuelto el problema sin el uso de las derivadas?.Describe como.
María Sardina, Creación realizada con GeoGebra
OTROS PROBLEMAS
Ahora intenta tu resolver los siguientes problemas con ayuda del profesor y siguiendo los pasos que se te indican:
En un triángulo isósceles de base 2 cm. (el lado desigual) y altura 3 cm, se inscribe un rectángulo de forma que uno de sus lados esté sobre la base del triángulo y dos de sus vértices sobre los lados iguales. Calcular las dimensiones del rectángulo de área máxima.
Este problema lo resolverán los alumnos con ayuda del profesor.
Pasos a seguir:
1.- Dibujar el triángulo isósceles y el rectángulo inscrito.
2.- Señalar los puntos que nos indicas la base y área del rectángulo (señala la traza).
3.- Registrar en la hoja de cálculo los puntos.
4.- Crear una lista con los valores de y de los puntos anteriores.
5.- Hallar el máximo de la lista.
6.-Identificar la función que se obtiene según la traza.
7.-Dibujar la función y comparar con la traza de los números.
8.- Dibuja la derivada.
9.-Hallar el punto que anula derivada.
10.-Halla el máximo de la función.
11.- Compara con el máximo de la lista de números.
Comprueba tu solución con la construcción ya resuelta:
Generaliza el problema para cualquier valor del lado desigual y lados iguales, comprueba tu construcción con la siguiente:
Calcular las dimensiones de un rectángulo de área máxima inscrito en un triángulo isósceles
Al lado desigual lo ponemos como deslizador, al igual que los lados iguales:
Mostramos la traza de los puntos que indican base y área de los rectángulos que se forman.
Los datos se trasladan a una hoja de cálculo.
Se halla el máximo de la lista correspondiente a las áreas que determinan los puntos de de la traza.
Después realizamos el procedimiento analítico:
Función f(x) a máximizar.
f`(x) y el pto tal que f'(x)=0 le denominador Máximo
Se obtiene el valor máximo por dos métodos distintos para que compares los resultado
María Sardina, Creación realizada con GeoGebra
OTROS PROBLEMAS A RESOLVER:
1.-Entre todos los triángulos isósceles de perímetro 30, ¿cuál es el de área máxima?
2.- Una recta que pasa por el punto (1,2) determina sobre los semiejes positivos, los segmentos OP y OQ. Determinar el triángulo OPQ de área mínima.
3.- En un rectángulo de 4 m de perímetro, se sustituyen los lados por semicircunferencias exteriores. Halla las dimensiones de los lados para que el área de la figura resultante sea mínima.
4.- Determina en la hipérbola x2 – y2=1 un punto cuya distancia a P(2,0) sea mínima.
5.- Entre todos los rectángulos inscritos en una circunferencia de radio 12 cm. Calcular las dimensiones del que tenga mayor área.
6.- Se tiene un alambre de 2 m. de longitud y se desea dividirlo en dos partes, para formar un cuadrado y con la segunda parte un círculo. Calcular la longitud de cada parte para que la suma de las áreas de la figura sea a) máxima, b) Mínima.
Ficha para el profesor: